第6講 用樹狀圖或表格求概率-【暑假預習】新九年級數學（北師大版）（學生版）

第六講用樹狀圖或表格求概率【學習目標】1、進一步理解當試驗次數較大時試驗頻率穩定于概率.2、會借助樹狀圖和列表法計算涉及兩步試驗的隨機事件發生的概率.【基礎知識】1.古典概型（1）古典概型的定義某個試驗若具有：①在一次試驗中，可能出現的結構有有限多個；②在一次試驗中，各種結果發生的可能性相等。我們把具有這兩個特點的試驗稱為古典概型。（2）古典概型的概率的求法一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發生的可能性都相等，事件A包含其中的m中結果，那么事件A發生的概率為P（A）=2.列表法求概率（1）列表法用列出表格的方法來分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。（2）列表法的應用場合當一次試驗要設計兩個因素，并且可能出現的結果數目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用列表法。3.樹狀圖法求概率（1）樹狀圖法就是通過列樹狀圖列出某事件的所有可能的結果，求出其概率的方法叫做樹狀圖法。（2）運用樹狀圖法求概率的條件當一次試驗要設計三個或更多的因素時，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹狀圖法求概率。【考點剖析】考點一：利用概率公式進行計算例1．一個的棋盤，在棋盤方格內隨機放入棋子，且每一方格內最多放入一枚棋子．（1）如圖①，棋盤內已有兩枚棋子，在剩余的方格內隨機放入一枚棋子，這三枚棋子恰好能在同一條直線上的概率為__________；（2）如圖②，棋盤內已有四枚棋子，在剩余的方格內隨機放入兩枚棋子，求僅有三枚棋子恰好能在同一條直線上的概率．考點二：列表法或樹狀圖法求概率例2．某校準備從八年級（1）班、（2）班的團員中選取兩名同學作為十四運的志愿者，已知（1）班有5名團員（其中男生3人，女生2人），（2）班有4名團員（其中男生1人，女生3人）．（1）如果從這兩個班的全體團員中隨機選取一名同學作為志愿者的組長，則這名同學是男生的概率為______；（2）如果分別從（1）班、（2）班的團員中隨機各選取一人，請用畫樹狀圖或列表的方法求這兩名同學恰好是一名男生、一名女生的概率．考點三：游戲公平性問題例3．相約西安，筑夢全運，為迎接十四運，學校開展了運動會志愿者選拔活動．小亮和小賈都很優秀，一同報名參加了選拔活動，但只有一個參加名額．現通過抽卡片的方式決定誰去參加，規則如下：現有兩組卡片，第一組為正面分別寫有字母X、Y、Z的三張卡片，第二組為正面分別寫有字母X、Y、Y、Z的四張卡片，這些卡片除正面字母外其余均相同．將卡片正面朝下洗勻，隨機抽一張，記下字母后放回，稱為抽卡片一次．（1）若小賈從第二組中抽卡片15次，其中9次抽出的卡片上寫有字母Y，求這15次抽出的卡片上寫有字母Y的頻率；（2）小亮從第一組中抽卡片一次，小賈從第二組中抽卡片一次，若兩人抽出的卡片上的字母相同，則小亮去參加；否則，小賈去參加．請問這種抽卡片的方式對兩人是否公平？用列表或畫樹狀圖的方法說明理由．考點四：幾何概率問題例4．如圖，在3×3的正方形方格中，陰影部分是涂黑5個小正方形所形成的圖案．（1）如果將一粒米隨機地拋在這個正方形方格上，那么米粒落在陰影部分的概率是多少？（2）現將方格內空白的小正方形（A，B，C，D）中任取2個涂黑，得到新圖案，請用列表或畫樹狀圖的方法求新圖案是中心對稱圖形的概率．考點五：統計與概率綜合問題例5．某校九（1）班針對“垃圾分類”知曉情況對全班學生進行專題調查活動，將“垃圾分類”的知曉情況分為，，，四類，其中，類表示“非常了解”，類表示“比較了解”，類表示“基本了解”，類表示“不太了解”，每名學生可根據自己的情況任選其中一類，班長根據調查結果進行了統計，并繪制成了不完整的條形統計圖和扇形統計圖．根據以上信息解決下列問題：（1）補全條形統計圖，并求出扇形統計圖中類別所對應扇形的圓心角度數．（2）類別的4名學生中有3名男生和1名女生，現從這4名學生中隨機選取2名學生參加學校“垃圾分類”知識競賽，求所選取的2名學生中恰好有1名男生、1名女生的概率．【真題演練】1．下列表述中，正確的是（）A．“任意一個五邊形的外角和是540°”是必然事件B．拋擲一枚質地均勻的硬幣100次，正面朝上的次數正好為50次C．拋擲兩枚質地均勻的銀幣，正好一枚正面朝上，一枚反面朝上的概率為D．“367人中至少有兩人的生日相同”是隨機事件2．如圖是一個游戲轉盤，自由轉動轉盤，當轉盤停止轉動后，指針落在陰影部分的概率是（）A． B． C． D．3．籠子里關著一只小松鼠（如圖），籠子的主人決定把小松鼠放歸大自然，將籠子所有的門都打開，松鼠要先經過第一道門（A，，或C），再經過第二道門（或）才能出去．問松鼠走出籠子的路線（經過的兩道門）有（）種不同的可能？A．12 B．6 C．5 D．24．一個盒子里裝有除顏色外都相同的3個球，其中2個紅球，1個白球．現從盒子里隨意摸出1個不放回，再摸出1個，兩次均摸到紅球的概率是（）A． B． C． D．5．由兩個可以自由轉動的轉盤、每個轉盤被分成如圖所示的幾個扇形、游戲者同時轉動兩個轉盤，如果一個轉盤轉出了紅色，另一轉盤轉出了藍色，游戲者就配成了紫色，下列說法正確的是（）A．兩個轉盤轉出藍色的概率一樣大B．如果A轉盤轉出了藍色，那么B轉盤轉出藍色的可能性變小了C．游戲者配成紫色的概率為D．先轉動A轉盤再轉動B轉盤和同時轉動兩個轉盤，游戲者配成紫色的概率不同6．小明參加了一個抽獎游戲：一個不透明的布袋里裝有1個紅球，2個藍球，4個黃球，8個白球，這些小球除顏色外完全相同．從布袋里摸出1球，摸到紅球、藍球、黃球、白球可分別得到獎金30元、20元、5元和0元，則小明摸一次球得到的平均收益是________元．7．隨著高鐵、地鐵的大量興建以及鐵路的改擴建，我國人民的出行方式越來越多，出行越來越便捷．為保障旅客快捷、安全的出人車站，每個車站都修建了如圖所示的出入閘口．某車站有四個出入閘口，分別記為、、、．（1）一名乘客通過該站閘口時，求他選擇閘口通過的概率；（2）當兩名乘客通過該站閘口時，請用樹狀圖或列表法求兩名乘客選擇相同閘口通過的概率．8．小明的爸爸拿回一張電影票，兒子小明和妹妹小利都想去看電影，于是爸爸給他們出了一個主意，方法是：從印有1，2，3，4，5，4，6，7的8張撲克牌中任取一張，抽到比4大的牌，則小明去看電影，否則小利去看電影．（1）你認為爸爸這個方法是否合理？請用概率的知識解釋原因．（2）若使方法公平，你認為該如何修改這個方法？9．一個不透明的布袋里裝有2個紅球，1個白球，它們除顏色外其余都相同．（1）摸出1個球，記下顏色后不放回，再摸出1個球，求兩次摸出的球恰好顏色相同的概率（要求畫樹狀圖或列表）．（2）現再將個白球放入布袋，攪勻后，使摸出1個球是白球的概率為，求的值．10．為了減緩學生中考前的心理壓力，某班學生組織了一次拔河比賽，裁判員讓甲乙兩隊隊長用“石頭、剪刀、布”的手勢方式選擇場地位置，規則是：石頭勝剪刀，剪刀勝布，布勝石頭，手勢相同則再決勝負．（1）用列表或畫樹狀圖法，列出甲、乙兩隊手勢可能出現的情況；（2）裁判員的這種做法對甲、乙雙方公平嗎？請說明理由．11．新冠疫情以來，各地政府為活躍消費市場，釋放消費潛力，各商家采取各種促銷以此來對沖疫情影響．某商場為了吸引顧客，設立了可以自由轉動的轉盤（如圖，轉盤被均勻分為20份），并規定：顧客每購買200元的商品，就能獲得一次轉動轉盤的機會．如果轉盤停止后，指針正好對準紅色、黃色、綠色區域，那么顧客就可以分別獲得200元、100元、50元的購物券（若指向邊界則重轉），憑購物券可以在該商場繼續購物．如果顧客不愿意轉轉盤，那么可以直接獲得購物券30元．（1）求轉動一次轉盤獲得購物券的概率；（2）某顧客在此商場購物220元，通過轉轉盤獲得購物券和直接獲得購物券，你認為哪種方式對顧客更合算？談談你的理由．為迎接建黨100周年，甲、乙兩位學生參加了知識競賽培訓，現分別從他們在培訓期間參加的若干次預賽成績中隨機抽取8次，記錄這8次成績（單位：分），并按成績從低到高整理成如下表所示，由于表格被污損，甲的第5個數據看不清，但知道甲的中位數比乙的眾數大3．甲78798182x889395乙7580808385909295（1）求x的值；（2）現要從中選派一人參加競賽，從統計或概率的角度考慮，你認為選派哪位學生參加合適？請說明理由．13．一個智力挑戰賽需要全部答對兩道單項選擇題，才能順利通過第一關.第一道題有個選項，第二道題有個選項，這兩道題小新都不會，不過小新還有一個“求助卡”沒有用，使用“求助卡”可以讓主持人去掉其中一題的一個錯誤選項．（1）如果小新在第--題使用“求助卡”，請用樹狀圖或者列表來分析小新順利通過第一關的概率；（2）從概率的角度分析，你建議小新在第幾題使用“求助卡”．為什么．14．2021年6月26日是第34個國際禁毒日，為了解同學們對禁毒知識的掌握情況，學校開展了禁毒知識講座和知識競賽，從全校1600名學生中隨機抽取部分學生的競賽試卷進行調查分析，測試結果分為“優秀”、“良好”、“合格”、“一般”四類，并繪制出如圖所示的兩幅不完整的統計圖．請根據統計圖回答下列問題：（1）本次抽取調查的學生共有______人，估計該校1600名學生中“合格”的學生有______人；（2）請補全條形統計圖（提示：要標上人數）；（3）被調查的學生中，前4名學生有2名男生，和2名女生，，若再從這4名學生中隨機抽取2人代表學校參加教育局組織的禁毒演講比賽，請用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．【過關檢測】1．一個不透明的盒子中裝有5個紅球和3個白球，它們除顏色外都相同．若從中任意摸出一個球，則下列敘述正確的是（）A．摸到紅球是必然事件； B．摸到白球是不可能事件；C．摸到紅球和摸到白球的可能性相等； D．摸到紅球比摸到白球的可能性大．2．如圖所示的飛鏢游戲板是順次連接正六邊形的三個不相鄰的頂點后得到的，若某人向該游戲板投擲鏢一次（假設飛鏢落在游戲板上），則飛鏢落在陰影部分的概率是（）A．1 B． C． D．3．不透明的袋子中裝有個紅球和個白球，除顏色外無其他差別，隨機摸出一個球后，放回并搖勻，再隨機摸出一個，兩次都摸到紅球的概率是________．4．不透明的袋子里裝有紅、黑、白三種顏色的小球，它們質地、形狀完全相同，從袋子中隨機抽取一個小球，記事件為“抽到紅球”，事件為“抽到紅球或黑球”，若，則的取值范圍是____________．5．一杯子中，盛有紅、黃兩種豆子、將豆子攪拌均勻，從中隨機抓起一把豆子，其中紅豆20粒，黃豆100粒．若杯中約有30000粒豆子，試估計杯中約有______粒紅豆．6．春節前夕，小麗的奶奶給孩子們準備了一些紅包，這些紅包的外觀相同，其中有個紅包裝的是元，有個紅包裝的是元，剩下的紅包裝的是元．若小麗從中隨機拿出一個紅包，里面裝的是元的紅包的概率是，則裝有元紅包的個數是______________．7．甲、乙兩人用如圖所示的兩個轉盤（每個轉盤分別分成面積相等的3個扇形）做游戲，游戲規則：轉動兩個轉盤各一次，當轉盤停止后，指針所在區域的數字之和為偶數時甲獲勝；數字之和為奇數時乙獲勝；若指針落在分界線上，則需要重新轉動轉盤甲獲勝的概率是______．8．將4張印有我國傳統節日“春節”“元宵節”“清明節”“中秋節”（卡片的形狀、大小、質地都相同）的卡片放在一個不透明的盒子中，將卡片攪勻．（1）從盒子中任意取出1張卡片，恰好取出印有“春節”的卡片的概率為_________．（2）先從盒子中任意取出1張卡片，記錄后放回并攪勻，再從中任意取出1張卡片，求取出的2張卡片中，印有相同節日的概率（請用畫樹狀圖法或列表法求解）．9．已知不等式組（1）求不等式組的解集，并寫出它的所有整數解；（2）在不等式組的所有整數解中任取兩個不同的整數相乘，請用畫樹狀圖或列表的方法求積為非負數的概率．10．某商場文具專柜為了吸引顧客，設立了一個可以自由轉動的轉盤(轉盤被等分成16份)，如圖所示，并規定：顧客每購買100元的商品，就能獲得一次轉動轉盤的機會．如果轉盤停止后，指針正好對準紅色、黃色、藍色、綠色區域，顧客獲得的獎品分別為玩具熊、童話書、彩色筆、文具盒．若甲顧客購物消費125元，乙顧客購物消費89元，請解答以下問題：（1）甲顧客獲得一次轉動轉盤機會的概率為，乙顧客獲得一次轉動轉盤機會的概率為．（2）甲顧客獲得哪種獎品的概率最大？請說明理由．11．小麗和小華想利用摸乒乓球游戲決定誰去參加市里舉辦的喜迎建黨一百周年以“學黨史?悟思想?辦實事?開新局”為主體的演講比賽，游戲規則是：在一只不透明的袋子中裝有4個大小?質地都相同的乒乓球，球面上分別標有數字，攪勻后，一人先從中隨機摸出一個球（不放回），另一人再從余下的3個球中摸出一個球，若摸出的兩個小球上的數字之和為偶數，則小麗去，否則小華去參賽．（1）用列表法或樹狀圖法，求小麗參賽的概率；（2）你認為這個游戲公平嗎？請說明理由．12．某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：℃）有關．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：（為了方便記錄，把a≤x＜b記作：[a，b）．）最高氣溫[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)天數216362574以最高氣溫位于各區間的頻率估計最高氣溫位于該區間的概率．（1）求六月份這種酸奶一天的需求