2026年高考數(shù)學復習（全國）導數(shù)的綜合應(yīng)用（講義）試題版

專題3.5導數(shù)的綜合應(yīng)用（舉一反三復習講義）

【全國通用】

內(nèi)容導航

，題型1導數(shù)中的函數(shù)零點（方程根）問題

＜題型2利用導數(shù)研究不等式恒成立問題

導數(shù)的綜合應(yīng)用＜題型3利用導數(shù)研究能成立問題

＜題型4利用導數(shù)證明不等式

，提升?必考題型歸納

J題型5利用導數(shù)研究雙變量問題

J題型6導數(shù)中的極值偏移問題

J題型7導數(shù)在實際問題中的應(yīng)用

一題型8導數(shù)中的新定義問題

高考真題練

1、導數(shù)的綜合應(yīng)用

導數(shù)是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，導數(shù)的綜合應(yīng)用是高考必考的重點、熱點

內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，高考中常涉及的問題有：導數(shù)中的不等式

命題規(guī)律恒（能）成立問題、利用導數(shù)證明不等式、導數(shù)中的函數(shù)零點（方程根）問

題等，這些問題體現(xiàn)了分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學思想，此類問題在選擇、

分析填空、解答題中都有考查，但主要以解答題為主，而在解答題中進行考查時

試題綜合性強，難度較大，需要靈活求解，二輪復習時要加強對這方面內(nèi)容

的訓練.

考點2023年2024年2025年

高考真題

新課標I卷:第19題，新課標I卷:第18題，全國一卷：第19題，

統(tǒng)計導數(shù)的綜合12分17分17分

應(yīng)用新課標H卷:第22題，新課標11卷:第11題，全國二卷：第18題，

12分6分17分

全國甲卷（文數(shù)）：全國甲卷（文數(shù)）：

第20題，12分第20題，12分

全國甲卷（理數(shù)）：全國甲卷（理數(shù)）：

第21題，12分第21題，12分

全國乙卷（文數(shù)）：

第8題，4分

預(yù)測在2026年全國卷高考數(shù)學中，導數(shù)的綜合應(yīng)用的相關(guān)問題的考情

2026年將繼續(xù)維持穩(wěn)定態(tài)勢°預(yù)測在選擇題、填空題中考查概率較低，主要考查函

數(shù)零點、不等式恒（能）成立問題，難度中檔。大概率在解答題中考查，不

命題預(yù)測等式恒（能）成立問題、利用導數(shù)證明不等式、函數(shù)零點（方程根）問題依

舊是考查核心，都有可能考查，此時試題綜合性較強，試題難度較大。

（1）分離參數(shù)法解決恒（能）成立問題

不等式恒（能）r

1%靠端累去I⑵分類討論法解決恒（能產(chǎn)問題

導數(shù)中的不（1）一股地，要正仕）＞g（.v）在區(qū)間S.6）上成立，需構(gòu)造輔助

函數(shù)Mx）=Ax）-gtx）,通過分析內(nèi)”）在端點處的函數(shù)值來

等式問題

證明不等式

＜導數(shù)中的不等式_f（2）在證明不等式中，若無法轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)的最值問

證明題，可考慮轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值問題

一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系

式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的不等式

知識梳理

知識點1導數(shù)中的函數(shù)零點問題的解題策略

1.函數(shù)零點（個數(shù)）問題的的求解方法

(1)構(gòu)造函數(shù)法:構(gòu)造函數(shù)g(x)，利用導數(shù)研究以工)的性質(zhì)，結(jié)合g(x)的圖象，判斷函數(shù)零點的個數(shù).

(2)函數(shù)零點存在定理:利用零點存在定理，先判斷函數(shù)在某區(qū)間有零點，再結(jié)合圖象與性質(zhì)確定函數(shù)有多

少個零點.

(3)數(shù)形結(jié)合法:函數(shù)零點個數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)圖象的幾何直觀求解.

2.導數(shù)中的含參函數(shù)零點(個數(shù))問題

利用導數(shù)研究含參函數(shù)的零點(個數(shù))問題主要有兩種方法：

(1)利用導數(shù)研究函數(shù)｛r)的最值，轉(zhuǎn)化為人x)圖象與x軸的交點問題，主要是應(yīng)用分類討論思想解決.

(2)分離參變量，即由幾丫)=0分離參變量，得a=g(x)，研究尸。與尸g(x)圖象的交點問題.

3.與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)范圍問題的解題策略

與函數(shù)零點(方程的根)有關(guān)的參數(shù)范圍問題，往往利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點，并結(jié)合特殊

點判斷函數(shù)的大致圖象，進而求出參數(shù)的取值范圍.也可分離出參數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點情況.

知識點2不等式恒(能)成立問題的解題策略

1.不等式恒(能)成立問題的求解方法

解決不等式恒(能)成立問題主要有兩種方法：

(1)分離參數(shù)法解決恒(能)成立問題

①分離變量：根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達式的不等式，

構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，進而解決問題.

②G2/(外恒成立u*a2/(A-)max；

。《/(幻恒成立―>。4/1),.;

〃N/(X)能成立Q4二/G)min；

aW/(x)能成立Q*a&/(X)max.

(2)分類討論法解決恒(能)成立問題

分類討論法解決恒(能)成立問題，首先要將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，此類問題關(guān)鍵是對參數(shù)進行分

類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，若不滿足題意，只需找一人值或一段內(nèi)

的函數(shù)值不滿足題意即可.

2.雙變量的恒(能)成立問題的求解方法

“雙變量”的恒(能)成立問題一定要正確理解其實質(zhì),深刻挖掘內(nèi)含條件.進彳j等價變換,常M的等價變換

有：

對于某一區(qū)間/，

⑴TM,X2￡/,/■)>g(小)fMmin>gMmax.

(2)Vx,e/?3x2eZ2,/(Xi)>g(x2)u*f(x)min>g(x)mjn.

(3)3x,e/?Vx2e/2,fM>g(x2)<=>f(x)>gWmax.

知識點3導數(shù)中的不等式證明的解題策略

1.導數(shù)中的不等式證明的解題策略

⑴一般地，要證")>g(x)在區(qū)間(。，與上成立，需構(gòu)造輔助函數(shù)ax)="x)—gU),通過分析網(wǎng)?滋端點處的

函數(shù)值來證明不等式.若代。)=0,只需證明A(x)在(。，份上單調(diào)遞增即可；若小(與=0,只需證明尸(x)在(。，

b)上單調(diào)遞減即可.

(2)在證明不等式中，若無法轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)的最值問題，可考慮轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值問題.

2.移項構(gòu)造函數(shù)證明不等式

待證不等式的兩邊含有同一個變量時，一般地，可以直接構(gòu)造“左減右”或“右減左”的函數(shù)，利用導教

研究其單調(diào)性等相關(guān)函數(shù)性質(zhì)證明不等式.

3.分拆函數(shù)法證明不等式

(1)若直接求導后導數(shù)式比較復雜或無從下手時，可將待證式進行變形，構(gòu)造兩個函數(shù),從而找到可以傳遞

的中間量，達到證明的目標.在證明過程中，等價轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，此處g(X)min為(玲皿恒成立，從而/a)Wg(X)

恒成立.

⑵等價變形的目的是求導后簡單地找到極值點，一般地，二與hu?要分離，常構(gòu)造x"與1M,丁與d的積、

商形式.便于求導后找到極值點.

4.放縮后構(gòu)造函數(shù)證明不等式

某些不等式，直接構(gòu)造函數(shù)不易求其最值，可以適當?shù)乩檬熘暮瘮?shù)不等式+1—

X—1等進行放縮,有利于簡化后饃導數(shù)式的求解或函數(shù)值正負的判斷；也可以利用局部函數(shù)的有界性進行

放縮，然后再構(gòu)造函數(shù)進行證明.

知識點4導數(shù)中的雙變量問題的解題策略

1.轉(zhuǎn)化為同源函數(shù)解決雙變量問題

此類問題一般是給出含有M，X2,/⑴)，/(⑼的不等式，若能通過變形，把不等式兩邊轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)形式相同

的代數(shù)式，即轉(zhuǎn)化為同源函數(shù),可利用該函數(shù)單調(diào)性求解.

2.整體代換解決雙變量問題

(1)解此類題的關(guān)鍵是利用代入消元法消去參數(shù)得到僅含有XI，X2的式子.

(2)與極值點為，X2有關(guān)的雙變量問題：i般是根據(jù)X1，也是方程/(x)=o的兩個根，確定不，不的關(guān)系，再通

過消元轉(zhuǎn)化為只含有XI或X2的關(guān)系式，再構(gòu)造函數(shù)解題,即把所給條件轉(zhuǎn)化為XI，處的齊次式，然后轉(zhuǎn)化

為關(guān)于手的函數(shù)，把?看作一個變量進行整體代換，從而把二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)來解決問題.

為入I

3.構(gòu)造函數(shù)解決雙變量問題的答題模板

第一步：分析題意，探究兩變量的關(guān)系；

第二步：合二為一，變?yōu)閱巫兞坎坏仁剑?/p>

第三步：構(gòu)造函數(shù)；

第四步：判斷新函數(shù)的單調(diào)性或求新函數(shù)的最值，進而解決問題；

第五步：反思回顧解題過程，規(guī)范解題步驟.

知識點5導數(shù)在解決實際問題中的應(yīng)用

1.導數(shù)在解決實際問題中的應(yīng)用

(I)利用導數(shù)解決實際問題時，常常涉及用料最省、成本(費用)最低、利潤最大、效率最高等問題,求解時需

要分析問題中各個變量之間的關(guān)系，抓主元，找主線，把“問題情境”翻譯為數(shù)學語言，抽象成數(shù)學問題，再

選擇合適的數(shù)學方法求解，最后經(jīng)過檢驗得到實際問題的解.

(2)解決優(yōu)化問題的方法并不單一，運用導數(shù)求最值是解決這類問題的有效方法，有時與判別式、基本不等

式及二次函數(shù)的性質(zhì)等結(jié)合，多舉并用，達到最佳效果.

(3)利用導數(shù)解決實際問題的一般步驟

【題型1導數(shù)中的函數(shù)零點(方程根)問題】

【例1】(2025?湖南郴州?模擬預(yù)測)已知/a)=7nemx-lnx(7nN0),若/(%)有兩個零點，則實數(shù)〃，的取值

范圍為()

(0，：)B.(0,/)C,&+8)D.以+8)

【變式1-1](2025?安徽?模擬預(yù)測)函數(shù)f(%)=的零點個數(shù)為()

A.0B.IC.2D.3

【變式1-2】(2025?貴州六盤水?模擬預(yù)測)己知函數(shù)

(1)求函數(shù)/(x)在％=1處的切線方程：

(2)函數(shù)g(x)=/(%)-m有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍.

【變式1-3](2025,河北?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/Xx)=5-々爐+爐一瓶(/血€R),%=2是函數(shù)/(%)的一個極

值點.

(1)求函數(shù)/Q)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)/(%)有三個零點%1，%2，與，且％1<X2<X3.

①求實數(shù)血的取值范圍；

②求證：無1+%2+X3>2.

【題型2利用導數(shù)研究不等式恒成立問題】

【例2】(2025?全國?模擬預(yù)測)若對任意%￡[e,+8),滿足eT]nx-￡N0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍

是()

A.(-co,e]B.(-co,e2]

C.[e2,4-co)D.[e,+8)

(變式2-1](2025?陜西咸陽?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(第)=(Inx-mx)(x+^-m-1),若f(x)<0在(0,+oo)

上恒成立，則實數(shù)〃?的取值范圍為()

A.(0,1]B,區(qū),1]C.[l,e]D.[1,1]

【變式2-2](2025?廣東汕尾?一模)己知人力=2ax-(2a+l)lnx在x=2處有極小值.

⑴求Q的值；

(2)設(shè)g(x)=/(x)-m,若g(x)<0在*,e2]上恒成立，求m的取值范圍(e?2.718,是自然對數(shù)的底數(shù)).

【變式2-3](2025?青海?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(%)=2hu:-a%.

(1)若a=l,求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程；

(2)討論f(%)的單調(diào)性;

(3)若a>0,/(x)<eax-△恒成立,求a的取值范圍.

【題型3利用導數(shù)研究能成立問題】

【例3】(2025?四川成都一模)若存在x>0使得不等式ae"+l-％工12成立，則正實數(shù)a的取值范圍為()

xa

A.(0,1]B.[e,+oo)C.(0,mD.(0,e]

【變式3-1](2025?遼寧大連?三模)已知/'(%)=%eax-ln%-ax,若存在與￡R，使得/(%0)=1，則實數(shù)a

的取值范圍是()

A.(-8+)B.卜：,+8)C.(舊,0)D.(0,1]

【變式3-2](2025?安徽合肥?一模)已知函數(shù)/(%)=史在U，gG)=%ln%-知一%2+a%+1

x—1

⑴求/(%)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若對于任意與6(-31),總存在外￡口,+8),使得八打)工或小)，求a的取值范圍.

【變式3-3](2025?陜西榆林?模擬預(yù)測)己知函數(shù)/"(E)=x-Qlnx,g(x)=—^(a€R).

(I)若a=l,求函數(shù)f(x)的最小值；

(2)設(shè)函數(shù)九(x)=/(X)-g(%),討論函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若在區(qū)間[l,e]上存在一點出,使得/?(%)Wg(%)成立，求a的取值范圍.

【題型4利用導數(shù)證明不等式】

【例4】(2025?廣東?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/'(%)=ax+1-(ax+l)e-x,aER.

(1)當Q=1時，求曲線y=f(%)在x=0處的切線方程；

(2)當aN1時，證明：/(x)>x；

(3)當QW0時，證明：/(x)<x(l-ax').

【變式4-1](2025?陜西漢中?一模)(1)已知函數(shù)/'a)=e2x—(x+l)ex+?,求/'(x)在(0,+8)上的單調(diào)

區(qū)間；

(2)若kN、證明：ke2x>1+ln2x.

e

【變式4-2](2025?河北滄州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=tanx(l-2cos%)+%,(0<x<

(1)求/(%)的最小值;

(2)證明：/(%)<2tanx；

(3)若/(叉)>2ln(x+1)+ax+tan%,求實數(shù)Q的取值范圍.

【變式43](2025?四川眉山?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=》％+d-3%+2,且曲線y=/(%)在％=2處的

切線與直線2x+3y-3=0垂直.

⑴求a的值：

(2)求f(x)的極值；

X

(3)若，(%i)=f(x2)=/(%3)，且％1<x2<x3,證明:23+x2-XI<3.

【題型5利用導數(shù)研究雙變量問題】

【例5】(2025?湖南?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/。)=#—%+Qlnx+

(1)討論f(%)的單調(diào)性;

(2)已知/(%)存在兩個極值點勺,必：若與<%2，且％2之京求/O1)+/(%2)的最小值?

【變式5?1】(2025?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/a>0.

(I)若/(%)存在零點，求。的取值范圍；

(2)若X1，為2為了(無)的零點，且證明：Q(%I+%2)2>2.

【變式5-2](2025?安徽合肥?一模)已知函數(shù)/(x)=lnx—Q。—》，其中a>0.

⑴討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)人%)有兩個極值點無1，應(yīng)(/<小)，證明：fM+/(x2)++x2)>ln2-

【變式5-3](2025?陜西西安?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/a)=lnx-gx+?(mWR),記口>)=2/(x)+%.

(1)討論函數(shù)尸(%)的單調(diào)性：

(2)己知巾>0,對任意x>0,存在a>0,使得：一/(a)Wr(%),求實數(shù)m的取值范圍;

2

(3)已知0VV工2，且尸(％1)=/(》2)，求證：x{x2>m.

【題型6導數(shù)中的極值偏移問題】

【例6】(2025?云南?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(%)=ajdnx(QW0).

(1)若a=2,求曲線y=fMKx=1處的切線方程：

(2)討論/(%)的單調(diào)性；

(3)若Q=2,/<小，且/(%1)+/(工2)+2=￡+靖，證明：+%2>2.

【變式6-1](2025?廣東佛山?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/'(%)=1+gx2一丘

⑴設(shè)九(x)二尸(乃，求h(%)的零點并判斷了(%)的單調(diào)性；

(2)若f(》i)=/(必)，且％1V孫,證明:

(i)Xj+x2<0；

(ii;eX1+e*2>2.

【變式6?2】(2025?上海楊浦?模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)y=/(%)的定義域為D,在。上僅有一個極值點出,方程/'(x)=0

在。上僅有兩解，分別為M、上，且％若亨>右，則稱函數(shù)y=/G)在。上的極值點左偏移;

若華<與，則稱函數(shù)y=fMeD上的極值點右偏移?

(1)設(shè)fG)=X2—1,D=R,判斷函數(shù)y=/a)在。上的極值點是否左偏移或右偏移，并說明理由；

(2)設(shè)m>0且?n豐1,/(x)=x3-mx2-x+m,D=(0,+co),求證：函數(shù)y=/(x)在D上的極值點右偏移;

(3)設(shè)QGR,/(%)=Inx-ax,D=(0,+co),求證：當0<Q<時，函數(shù)y=/(%)在0上的極值點左偏移.

【變式6-3](2025?青海海南?模擬預(yù)測)己知函數(shù)/(%)=Inx-TTL/+]mn,m>0.

(1)討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性.

(2)假設(shè)存在正實數(shù)％1，為2al芋X2)，滿足fGl)=?一根痣/(%2)=皆一小說.

(i)求實數(shù)m的取值范圍；

(ii)證明：必+必>2.

【題型7導數(shù)在實際問題中的應(yīng)用】

【例7】(2025?陜西?模擬預(yù)測)將一個體積為36n的鐵球切割成一個正三棱錐的機床零件，則該零件體積的

最大值為()

A.8V2B.8V3C.4V2D.4百

【變式7-1】(2025?遼寧遼陽?一模)已知球。的半徑為R,則在球。的內(nèi)接圓錐中，體積最大的圓錐的底面半

徑為()

A.乎RB.C.黃D.當R

3333

【變式7-2](2025?上海寶山?二模)某分公司經(jīng)銷一產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為5元，且每件產(chǎn)品需向總公司

交2元的管理費，預(yù)計每件產(chǎn)品的售價為x元(8Wx工11)時，一年的銷售量為(12-X)2萬件，則每件產(chǎn)

品售價為元時，該分公司一年的利潤達到最大值.(結(jié)果精確到1元)

【變式7-3］(2025?上海?模擬預(yù)測)如下圖所示，甲工廠位于一直線河岸的岸邊力處，乙工廠與甲工廠在河

的同惻，且位于離河岸40km的4處，河岸邊。處與力處相距50km(其中8。14。)，兩家工廠要在此岸

邊建一個供水站C，從供水站到甲工廠和乙工廠的水管費用分別為每千米3a元和"元，問供水站。建在

岸邊距離力處km才能使水管費用最省？

【題型8導數(shù)中的新定義問題】

【例8】(2025?江蘇?三模)已知函數(shù)1=/0)在閉區(qū)間［a,團上連續(xù),在開區(qū)間(Q,b)內(nèi)可導,則(a,b)內(nèi)至少

/

存在一個點刈)G(a,b),使得/'(b)-/(a)=/(x0)(Z?-a),其中z=%o稱為函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間［a,b］上的

“中值點”.則函數(shù)/'(x)=%3-2%在區(qū)間［-1,1］上的“中值點”的個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【變式8-1］(2025?江西南昌?一模)我們約定：若兩個函數(shù)的極道點個數(shù)相同，并且圖象從左到右看，極大

值點和極小值點分布的順序相同，則稱這兩個函數(shù)的圖象“相似已知/'a)=ex-gex2+a—i)2,則下列

給出的函數(shù)其圖象與y=f(x)的圖象“相似”的是()

A.y=x2B.y=-xLC.y=x3-3xD.y--x3+3x

【變式8-2】(2025?湖北武漢一模)已知函數(shù)/(x)的導函數(shù)為「⑺，若/G)在區(qū)間。上單調(diào)遞增，則稱/(%)

為區(qū)間D上的凹函數(shù)；若f'(x)在區(qū)間。上單調(diào)遞減，則稱/'(X)為區(qū)間D上的凸函數(shù).己知函數(shù)f(x)=§+

Aln(x+1).

(I)若/(無)在［2,3］上為凹函數(shù)，求實數(shù)2的取值范圍；

(2)已知F(x)=f(x-l),且尸(x)在(1,+8)上存在零點，求實數(shù)2的取值范圍.

【變式8?3】(2025?河南許昌?模擬預(yù)測)對于函數(shù)y=/Q),1皿和y=g(x),xED2,^DInD2=D,

若對任意的修，*6D,都有IfCvi)-/(%2)lW19(可)一g(x2)l'(t>0)成立，則稱函數(shù)y=人工)與y=g(x)“具

有性質(zhì)

(1)判斷函數(shù)/(%)=sinx,xG(0,3)與g(x)=%是否“具有性質(zhì)H(l)”，并說明理由：

(2)若函數(shù)/(x)=最+21nx-2與y=g(x)“具有性質(zhì)//⑴”，且函數(shù)y=gQ)在區(qū)間(0,+8)上存在兩個零點

%!?x2?求證：X5+>2：

(3)已知函數(shù)/'(%)=xlnx,xE(0,1),g(x)=》,求證：函數(shù)y=/(%)與y=g(x)“具有性質(zhì)//《)”.

高考真題練

考點一導數(shù)的綜合應(yīng)用

一、單選題

1.(2023?全國乙卷?高考真題)函數(shù)/(%)=%3+。％+2存在3個零點，則a的取值范圍是()

A.(—8,—2)B.(—8,—3)C.(-4,—1