北師八年級數學上冊-第4章 一次函數（7類題型突破）

第4章一次函數（題型突破）

題型一函數的有關概念

【例1】李師傅駕車五一假期到北京游玩，途中到某加油站加油，如圖是所用的加油機上的

數據顯示牌，其中因變量是（)

124704］金的元

32產量/開

|7.72|單位/元

A.金額B.數量C.單價D.金額和數量

鞏固訓練：

1.在式子①產3x+1,②y=f,③、=77,④），，⑤N=|x|中，y是X的函數的有（）,

A.2個B.3個C.4個D.5個

2.如圖曲線中不能表示了是》的函數的是（）

3.已知函數產產一產?，當戶-I時,y的值為（）

-v+2（x<l）

A.3B.-3C.1D.—1

4.彈簧掛上物體后會伸長，測得一彈簧的長度），（cm）與所掛的物體的質量x（kg）問有下

面的關系：

"kg012345

y/cm1010.51111.51212.5

下列說法一定錯誤的是（）

A.x與），都是變量，且工是自變量，y是x的函數

B.彈簧不掛重物時的長度為0cm

C.物體質量每增加1kg,彈簧長度y增加0.5cm

D.所掛物體質量為7kg時，彈簧長度為13.5cm

題型二正比例函數

【例2】如果y關于X的函數y=（k-i）x是正比例函數，那么攵的取值范圍是（）

A.女工0B.k*lC.一切實數D.kw-1

鞏固訓練：

1.下列式子中，表示》是犬的正比例函數的個數正確的為（）

（1）y=-Oix；（2）y=1；（3）y=2x2；（4）y2=4x.

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.下列說法中不成立的是（）

A.在y=3x-l中y+1與X成正比例

2

B.在），=-一中，y與x成正比例

x

C.在y=2（x-l）-l中），-1與x-i成正比例

D.在y=3/中），與/成正比例

3.下列關于正比例函數），=2》的說法中，正確的是（）

A.當x=2時，y=lB.它的圖象是一條過原點的直線

C.y隨x的增大而減小D.它的圖象經過第二、四象限

4.點A（〃,y）、3（。+1,%）都在直線），=-］上，則兇與兒的關系是（）

A.X=KB.<>2C.Ji>y2D.與“值有關

題型三一次函數的有關概念

【例3】下列函數中，是一次函數的是（）

A.y=-+iB.y=-2x

X

C.y=H+b（k、方是常數）D.y=x2+2

鞏固訓練：

i.下列函數：①丁=壬②產」；③），=?；④），=9+1,其中一次函數的個數是（）

x52

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.若點玳9）在直線y=2x+l上，則代數式1-4〃+2人的值為（）

A.3B.-1C.2D.0

3.若丁=（"?-2?2+加_4為一次函數，則機=.

4.根據如圖所示的程序計算函數的值，若輸入X的值是6,則輸出的值是1,若輸入X的

值是2,則輸出V的值是（）

A.4B.10C.19D.21

題型四一次函數的圖像與性質

【例4].一次函數y=（，〃-l）x+2-〃z的圖象不經過第四象限，則〃?的取值范圍是

鞏固訓練：

1.若一次函數圖象與直線|x平行，且過點（。，2）,則此一次函數的解析式是_____.

2.對于函數y=-2x+l,下列結論不正確的是（）

A.它的圖象必經過點。,-1）B.它的圖象經過第一、二、四象限

C.當x>0時，>'>1D.的值隨x值的增大而減小

7

3.已知點（-5,y）,（hy）,（T%）都在直線y=上，則正為，為的大小關系是（）

2O

A.為〈丁XB.

C.Ji<<y2D.凡<必<弘

4.將直線y=-3x向右平移2個單位，再向上平移1個單位得到直線解析式為（）

A.y=-3x-5B.y=-3x+5C.y=-3x+7D.y=-3x-l

5.如圖所示，兩條直線y=〃+力與丹在同一直角坐標系中的圖像位置可能是（）

6.若一次函數尸辰+力（攵功為常數），當自變量工滿足-34讓1時，對應的函數值>滿足I"，",

則*的值是（)

A.—2B.2C.一2或2D.3或一2

7.一次函數丁=丘+2人與函數），=-國的圖象恰好有兩個交點，則實數々的取值范圍是

8.有8條不同的直線)(/?=1,2,3,4,5,6,7,8),其中占4=〃5=d,

則這8條直線的交點個數最多是（）

A.21個B.22個C.23個D.24個

題型五一次函數與方程、不等式

【例5].如圖,直線y=ax+b（a和）過點A（0,4）,B（-3,0）,則方程ax+b=0的解是（）

3

A.x=-3B.x=4C.x=4D.x=-v

4

鞏固訓練:

1.若函數"數和y=〃x+c的圖象如圖所示，則關于x的不等式?-加〈。的解集是（）

C.x>\D.x>2

2.一次函數+〃和、2=右4+么.乂與1的部分對應值如表1,”與%的部分對應值如表2：

XL01LXL01L

yL35L%L0-1JL

則當y＞%＞。時，x的取值范圍是（）.

A.x<()B.x>—1C.-1<x<0D.()<x<l

3.-一次函數X=ar+A與必=B+d的圖象如圖所示，下列說法：①曲＜0;②M（XQ）,N（%,%）

是直線y="+b上不重合的兩點.則（％一工）（），|-%）＞。.③a+A＞c+d;@3a+t）=3c+d；⑤當

D.1個

題型六一次函數的實際應用

【例6].某電信公司推出兩種不同的收費標準以種方式是月租20元;8種方式是月租0元.一

個月本地網內打出電話費S（兀）與打出時間，（分）的困數圖象如圖所示，當打出150分鐘

時，這兩種方式的電話費相差（）

C.157UD.20元

鞏固訓練:

1.清明期間，甲、乙兩人同時登云霧山，甲、乙兩人距地面的高度＞（米）與登山時間x（分）

之間的函數圖象如圖所示，且乙提速后乙的速度是甲的3倍.則下列說法錯誤的是（）

A.乙提速后每分鐘攀登3（）米

B.乙攀登到300米時共用時11分鐘

C.從甲、乙相距100米到乙追上甲時，乙用時6?5分鐘

D.從甲、乙相距100米到乙追上甲時、甲、乙兩人共攀登了330米.

2.小帶和小路兩個人開車從A城出發勻速行駛至8城.整個行駛過程中，小帶和小路兩人的

車離開A城的距離y（千米）與行駛的時間，（小時）之間的函數關系如圖所示，有下列結論：

①A、"兩城相距300千米；

②小路的車比小帶的車晚出發1小時，卻早到1小時；

③小路的車出發后2.5小時追上小帶的車；

④當時，小帶和小路的車相距50千米.

4

A.①②③④B.①@④C.②③④D.①②

題型七一次函數解答題

【例7].已知一次函數圖象經過點A（l,3）和6（0,1）.求：

⑴這個一次函數的解析式.

⑵當x=-3時，），的值.

鞏固訓練：

1.已知一次函數y=（2，〃+3）x+"Ll.

⑴若函數圖象在），軸上的截距為-3,求加的值;

（2）若困數圖象平行于直線產"1,求"2的值；

⑶該函數圖象不經過第二象限，求優的取值范圍.

2.己知y是人的一次函數，且當x=0時，）=2；當工=-3時，）=8.

⑴求這個一次函數的表達式；

⑵當-1遜2時，直接寫出函數.V的取值范圍，

3.已知直線/經過點42.0）,以0,2向,第一象限內的一點，在直線/上，點，的橫坐標為1.

⑴求直線/的解析式；

⑵點P繞著點A順時針旋轉91）。得到點P',點、P'的坐標.

4.如圖，函I數）H—2X+3與y=的圖象交于點P（〃,一2）.

⑴求出利，〃的值.

⑵直接寫出了U2413的解集.

⑶求出的面積.

5.小明從A地出發向B地行走，同時曉陽從B地出發向A地行走，小明、曉陽離A地的距

離（千米）與己用時間x（分鐘）之間的函數關系分別如圖中4、人所示.

⑴小明與曉陽出發幾分鐘時相遇？

⑵求曉陽到達人地的時間.

4

6.如下圖，在平面直角坐標系X。），中，直線丁=-§工+4與x軸、y軸分別交于點A、點8,點

。在），軸的負半軸上，若將AD43沿直線AD折疊，點3恰好落在x軸正半軸上的點C處.

⑴求48的長

⑵求點C和點。的坐標

（3》軸上是否存在一點P,使得S^=；Sg）?若存在，直接寫出點。的坐標；若不存在，請

說明理由

第4章一次函數（題型突破）

答案全解全析

題型一函數的有關概念

【例1】李師傅駕車五一假期到北京游玩，途中到某加油站加油，如圖是所用的加油機上的

數據顯示牌，其中因變量是（）

1247M金81/元

321數錄/升

「7.72|單曲元

A.金額B.數量C.單價D.金額和數量

【答案】A

【分析】根據函數中自變量和因變量的定義即可求得答案.

【解析】在加油過程中，有數量和金額兩個變量，對于數量的每一個確定的值，都能隨之確

定一個金額的值，因此金額是數量的函數，數量是自變量，金額是因變量.

故選：A.

【點睛】本題主要考查函數的有關概念，牢記函數的有關概念（在同一個變化過程中，有兩

個變量x和），，如果對于變量x的每一個確定的值，都能隨之確定一個y值，我們就把了叫做

x的函數，其中x叫做自變量，丁叫做因變量）是解題的關鍵.

鞏固訓練：

1.在式子①產3工+1,②了=9-1,③④y=W,⑤3邛葉，y是人的函數的有（）,

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】C

【分析】根據函數的定義可知，滿足對于工的每一個取值，y都有唯一確定的值與之對應，據

此即可逐一判斷.

【解析】解：在①尸3/1,②③），=五，?.v=W，中，對于x的每一個取值，＞

都有唯一確定的值與之對應，所以y是工的函數；

⑤卜|=國對于x的每一個取值，y都有一個或兩個值與之對應，所以y不是龍的函數；

故選：C.

【點睛】本題主要考查函數的概念，解題關鍵是明確滿足對于x的每一個取值，y都有唯一確

定的值與之對應，兩個變量為函數關系.

2.如圖曲線中不能表示y是x的函數的是（）

【分析】根據函數的概念，對于自變量X的每一個值，因變量y都有唯一確定的值與它對應，

即可解答.

【解析】解：A、對于自變量x的每一個值，因變量)’都有唯一的值與它對應，所以V是1的

函數，故A不符合題意；

R、對于自變量x的每一個值，因變量y都有唯一的值與它對應，所以y是x的函數，故R不

符合題意；

c、對于自變量X的每一個值，因變量》不是都有唯一的值與它對應，所以》不是/的函數，

故c符合題意；

D、對于自變量X的每一個值，因變量y都有唯一的值與它對應，所以y是X的函數，故D不

符合題意；

故選；。.

【點睛】本題考查了函數的概念，熟練掌握函數的概念是解題的關鍵.

3.已知函數戶產一產?，當L1時，y的值為()

-x+2(.r<l)

A.3B.-3C.1D.-I

【答案】A

【分析】根據自變星的取值，選擇不同的函數表達式進行訂算即可求解.

【解析】解：當x=T時，y=-x+2=-(-1)+2=3,

故選：A.

【點睛】本題主要考查函數的代入求值，掌握分段函數的計算方法，根據不同的自變量范圍

選擇不同的表達式計算是解題的關鍵.

4.彈簧掛上物體后會伸長，測得一彈簧的長度)，(cm)與所掛的物體的質量方(kg)問有下

面的關系：

x/kg012345

y/cm1010.51111.51212.5

下列說法一定錯誤的是（）

A.x與y都是變量，且工是自變量，丁是x的函數

B.彈簧不掛重物時的長度為0cm

C.物體質量每增加1kg,彈簧長度y增加0.5cm

D.所掛物體質量為7kg時，彈簧長度為13.5cm

【答案】B

【分析】根據表格中的信息，對各選項進行判斷作答即可.

【解析】解：由題意知，不與y都是變量，且x是自變量，），是無的函數，A正確，故不符合

要求；

彈簧不拄重物時的長度為l（）cm,B錯誤，故符合要求；

物體質量每增加1kg,彈簧長度），增加0.5cm,C正確，故不符合要求；

所掛物體質量為7kg時，彈簧長度為10H）.5x7=13.5cm,D正確，故不符合要求；

故選：B.

【點睛】本題考查了函數的變量，函數關系式.解題的關鍵在于從表格中獲取正確的信息.

題型二正比例函數

【例2】如果y關于X的函數y=（k-l）x是止比例函數，那么k的取值范圍是（）

A.人工0B.2C.一切實數D.女。一1

【答案】B

【分析】根據正比例函數的定義求解即可.

【解析】解：???函數），=（2-是正比例函數，

???女H1,

故選：B.

【點睛】本題考查了正比例函數的定義，掌握正比例函數的定義：形如y="伙工①的形式，

叫正比例函數.

鞏固訓練：

1.下列式子中，表示y是x的正比例函數的個數正確的為（）

(1)y=-O.lx；(2)),=：；(3)y=2d；(4)y2=4.v.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】根據正比例函數的定義進行逐一判斷即可.

【解析】解：y=-o.度是正比例函數，符合題意；

是正比例函數，符合題意；

y=2f不是正比例函數，不符合題意；

V=4x不是正比例函數，不符合題意；

???表示y是1的正比例函數的個數正確的為2個，

故選B.

【點睛】本題主要考查了正比例函數的識別，熟知正比例函數的定義是解題的關鍵：一般地,

形如)，=kx(k/0)的函數叫做正比例函數.

2.下列說法中不成立的是()

9

A.在y=3x-l中y+1與x成正比例B.在y=一中，y與x成正比例

X

C.在尸2(.1)-1中〉，-1與x-1成正比例D.在)，=3/中),與一成正比例

【答案】B

【分析】根據正比例函數的定義，逐一判斷即可.

【解析】解：將y=3x-I變形為y+l=3x,故)，+1與x成正比例，故A選項正確；

在)「一▲中，成反比例，故B選項錯誤；

x

將y=2(x-l)-l變形為y+l=2(x-1),故y+1與1成正比例，故C選項正確；

在y=3/中y與x2成正比例,故D選項正確，

故選：B.

【點睛】本題考查了正比例函數的定義：一般地，兩個變量之間的關系可以表示為形如

)，=入代工0)的函數，那么)，就叫做工的正比例函數.

3.下列關于正比例函數)，=2x的說法中，正確的是()

A.當x=2時，y=\B.它的圖象是一條過原點的直線

C.y隨x的增大而減小D.它的圖象經過第二、四象限

【答案】B

【分析】根據正比例函數的性質對各選項進行逐一分析即可.

【解析】解：A、當x=2時，），=4,故本選項錯誤，不合題意；

B、直線），=2”是正比例函數，.?.它的圖象是一條過原點的直線，故本選項正確，符合題意；

C、?.?々=2>0,???，隨x的增大而增大，故本選項錯誤，不合題意；

D、.?直線y=2x是正比例函數，心2>0,??.此函數的圖象經過一三象限，故本選項錯誤，不

合題意.

故選：B.

【點睛】本題考查的是正比例函數的性質，熟知正比例函數的圖象與系數的關系是解答此題

的關鍵.

4.點4（。,兇）、8（〃+1,為）都在直線y=上，則X與上的關系是（）

A.M=MB.y<）：2C.乃D.與。值有關

【答案】C

【分析】直接根據正比例函數的性質即可得.

【解析】解?一直線廣-山中的攵=[<0,

二『隨X的增大而減小，

又點A（a，x）、8（〃+1,左）都在直線尸-9上，且"4+1,

???X>>2,

故選：C.

【點睛】本題考查了正比例函數的性質，熟練掌握正比例函數的性質是解題關鍵.

題型三一次函數的有關概念

【例3】下列函數中，是一次函數的是（）

A.y=-+1B.y=-2.r

x

C.y=H+b（k、方是常數）D.y=x2+2

【答案】B

【分析】根據形如廣質+〃（后0）的函數為一次函數判斷即可.

【解析】A、不是一次函數，不符合題意；

B、），=-2x是一次函數，符合題意;

c、y-2>（k、〃是常數），當A=0時，不是一次函數，不符合題意；

D、），=/+2不是一次函數，不符合題意；

故選B.

【點睛】本題考查了一次函數的定義，熟練掌握定義是解題的關鍵.

鞏固訓練：

1.下列函數：①尸壬②尸」；③>=!；④尸卜"，其中一次函數的個數是（）

x52

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】根據形如尸心+儀心。，3〃是常數）的函數，叫做一次函數進行分析即可.

【解析】解：①尸x；③了三是一次函數，共2個.

故選：B.

【點睛】此題主要考查了一次函數定義，關鍵是掌握一次函數形如），=依+火火工。，&、。是常數），

一次函數解析式的結構特征：攵工0;自變量的次數為1;常數項人可以為任意實數.

2.若點網。，〃）在直線）=2x+l上，則代數式1-4〃+勸的值為（）

A.3B.-IC.2D.0

【答案】A

【分析】把點P（a，〃）代入戶2x+l,得出2a-〃=-1,將其代入1-4々+功進行計算即可.

【解析】解：把點析。力）代入y=2X+1得6=上+1,

整理得：2a—b=—l,

.,.l-4?+2/?=l-2（2t/-Z?）=l-2x（-l）=3,

故選：A.

【點睛】本題主要考查了一次函數圖象上點的坐標特征，求代數式的值，解題的關鍵是掌握

一次函數圖象上點的坐標都符合一次函數表達式，以及整式添加括號，若括號前為負號，要

變號.

3.若y=（小-2）/T+加一4為一次函數，則機=.

【答案】0

【分析】利用一次函數的定義可得“..求解即可.

一240

【解析】解：由題意得：*〃_"=]，

機。2小。2

解得:'或，(舍去),

in=Oin=2

/.“2=0,

故答案為：0.

【點睛】本題考查了一次函數的定義，熟練掌握其定義是解題的關鍵.

4.根據如圖所示的程序計算函數)，的值，若輸入X的值是6,則輸出>的值是I,若輸入X的

值是2,則輸出y的值是()

A.4B.1()C.19D.21

【答案】A

【分析】根據程序框圖，將工=6代入片手求出。的值，將戶2代入y=即可求出)，的

值.

【解析】當x=6時，弓也=1,解得：〃=8,

當x=2時，y=(-2)x2+8=4.

故選：A.

【點睛】本題考查了函數解析式的函數值求法，熟練掌握函數解析式的代入求值是解題的關

鍵.

題型四一次函數的圖像與性質

【例4].一次函數y=W-l).r+2r〃的圖象不經過第四象限，則小的取值范圍是.

【答案】l<m<2

【分析】依題意，根據一次函數的性質得出解不等式組即可求解.

2-in>0

【解析】解：???一次函數)，=(〃L1)X+2-〃?的圖象不經過第四象限,

/w-1>0

2-ni>0

解得：1<〃底2,

故答案為：I〈〃W2.

【點睛】本題考查了一次函數的性質，熟練掌握一次函數的性質是解題的關鍵.

鞏固訓練：

1.若一次函數圖象與直線>=-平行，且過點（°，2），則此一次函數的解析式是_____.

【答案】y=-x+2/y=2-x

【分析】設一次函數的解析式是產依+〃，根據兩直線平行求出k=-g,把點的坐標代入函

數解析式，求出b即可.

【解析】解：設一次函數的解析式是尸公+〃，

???一次函數圖象與直線）=-二平行，

.,3

??女二-5，

即,二一3+力，

??,一次函數的圖象過點（0,2）,

???代入得：2=b,

解得：〃=2,

即），=-蕓+2,

故答案為：>=-31+2.

【點睛】本題考查了兩直線平行和用待定系數法求一次函數的解析式，能求出一次函數的解

析式是解此題的關鍵.

2.對于函數y--23+1,下列結論不正確的是（）

A.它的圖象必經過點（1,-1）B.它的圖象經過第一、二、四象限

C.當x>0時，>'>1D.的值隨x值的增大而減小

【答案】C

【分析】根據一次函數的性質，進行判斷即可.

【解析】解：???y=-2x+i,

當x=i時，>=-1,當％=（）時，y=i,

???圖象過點（卜1）,（。,|）;

V-2<0,l>0,

???直線經過第一、二、四象限，y的值隨x值的增大而減小，

?,?當x>0時,y<i；

故結論不正確的是C；

故選C.

【點睛】本題考查一次函數的圖象和性質.熟練掌握一次函數的圖象和性質，是解題的關鍵.

3.已知點（-5,y），（I,%）,（-2,%）都在直線），=-白+匕上，則y,力，%的大小關系是（）

O

A.3vxB.y2VM<外

C.,<%<%D.y3<>12<y,

【答案】A

【分析】根據一次函數的性質進行判斷即可.

【解析】解：：y=-：<。，

OO

，）'隨X的增大而減小，

???點（-5,），3（l,.y2）,（-2…）都在直線廣-白+）上，且一5<-2<1,

O

52<%<M;

故選A.

【點睛】本題考查比較一次函數的函數值大小.解題的關鍵是熟練掌握一次函數的增減性.

4.將直線y=-3x向右平移2個單位，再向上平移1個單位得到直線解析式為（）

A.y=-3x-5B.y=-3x+5C.y=-3x+7D.y=-3x-7

【答案】C

【分析】根據平移的性質“左加右減，上加下減“，即可找出平移后的直線解析式，比題得解.

【解析】解：將直線），=-3］向右平移2個單位，再向上平移1個單位，

可得：y=-3（x-2）+l,即y=-3x+7.

故選：C.

【點睛】本題考查了一次函數圖象與幾何變換，牢記平移的規貝廠左加右減，上加下減”是解

題的關鍵.

5.如圖所示,兩條直■線X=依+》與y,=〃x+a在同一百角坐標系中的圖像位置可能是（）

【答案】A

【分析】根據選項，結合一次函數圖像與表達式系數的關系逐項判斷即可得到答案.

【解析】解：A、由選項中直線,=以+〃的圖像可知"0,方則斷定直線”=辰+〃圖像正確，

該選項符合題意；

B、由選項中直線y=依+〃的圖像可知。＞。，〃＞。，則斷定直線*=灰+。圖像錯誤，該選項不符

合題意；

C、由選項中直線y=?+〃的圖像可知。＞。，〃＜。，則斷定直線X=以+"圖像錯誤，該選項不符

合題意；

D、由選項中直線）L，”+〃的圖像可知a＞。，〃＞（）,則斷定直線為=云+〃圖像錯誤，該選項不符

合題意；

故選：A.

【點睛】本題考查一次函數圖像與表達式系數的關系，掌握此類題型的解題方法是解決問題

的關鍵.

6.若一次函數k辰+/攵涉為常數），當自變量上滿足WWl時，對應的函數值＞滿足店）*9,

則々的值是（）

A.-2B.2C.一2或2D.3或一2

【答案】C

【分析】分兩種情況考慮：①當人＞0時，），隨工的增大而增大，當x=-3時）=1,x=l時產9列

方程組求解②當4＜0時，），隨上的增大而減小，當x=-3時產9,x=1時,，=1列方程組求解.

-3k+b=\

【解析】解：當上＞。時，則有

&+〃=9

k=2

解得J；,

b=7

,{-3k+b=9

當&＜。時L,則有，

解得仁；

b=3

綜上可知A=2或-2

o故選：C.

【點睛】木題考查一次函數的性質，解題的關鍵是學會分類討論的思想思考問題.

7.一次函數丁=公+22與函數），=-國的圖象恰好有兩個交點，則實數攵的取值范圍是

【答案】-1＜攵＜（）

【分析】根據函數解析式畫出大致的函數圖象，找到兩次只有一個公共交點的情況，中間即

是有兩個交點的情況，得出結論.

【解析】解：y=&+2A=&（.r+2）必過（-2,0）,

①當），=0,攵=0,），=依+2左與丁=一兇有一個公共交點；

②當k=-\ty=kx+2k與），=-1乂的一個分支有一個公共交點；

故若一次函數5=6+2攵與函數丁=-國的圖象恰好有兩個交點是當時.

故答案為-1＜攵＜0.

【點睛】本題考查了一次函數和y=-兇的圖象，確認兩個函數交點情況是解題關鍵.

8.有8條不同的直線產匕升"（n=l,2,3,4,5,6,7,8）,其中占=右=卜,8=%=d,

則這8條直線的交點個數最多是（）

A.21個B.22個C.23個D.24個

【答案】C

【分析】通過一次項系數相等的一次函數圖像直線直線平行，得到《〃《〃人一次函數

產心葉包與），軸交點為電,0）,且“=4="，得到這三條直線交于一點.想要直線之間交點盡

可能多，則后出現的直線與前面所有直線都有不同交點，畫圖可得到最多的交點情況，得出

最多交點個數.

【解析】先畫出乙-4交于1點，后畫/分別與前3條直線各有1個交點，4與前面6條直

線各有1個交點，4與前面7條直線各有1個交點.

1+3x3+6+7=23

所以最多共有23個交點.

故選C.

【點睛】本題考查直線之間的交點個數，直線之間的交點個數最多的情況為后出現的直線與

前面的直線均有不同交點.有位置前提的情況下，需要了解直線本身具有什么位置關系特點，

先理清楚條件再按照交點個數最多的策略畫圖.理解直線之間的交點個數最多的情況是解題

的關鍵.

題型五一次函數與方程、不等式

【例5].如圖,直線y=ax+b(a知)過點A(0,4),B(-3,0),則方程ax+b=0的解是()

3

A.x=-3B.x=4C.x=4D.x=--

4

【答案】A

【分析】根據所求方程的解，即為函數丫=a*+1)圖象與X軸交點橫坐標，確定出解即可.

【解析】方程ax+b=0的解，即為函數y=ax+b圖象與x軸交點的橫坐標，

?.?直線y=ax+b過B(-3,0),

；?方程ax+b=U的解是x=-3,

故選A.

【點睛】本題考查了一次函數與一元一次方程，任何一元一次方程都可以轉化為ax+b=O（a,

b為常數，a/））的形式，所以解一元一次方程可以轉化為：當某個一次函數的值為0時，求

相應的自變量的值.從圖象上看，相當于已知直線產ax+b確定它與x軸的交點的橫坐標的值.

鞏固訓練：

1.若函數產加和尸床+c?的圖象如圖所示，則關于X的不等式?-8的解集是（）

C.x>lD.x>2

【答案】A

【分析】利用函數圖象的交點坐標，寫出直線產斷在直線下方所對應的自變量的范

圍即可.

【解析】解：觀察函數圖象得直線尸小.與直線嚴加+C的交點坐標為（1,2）,

時，ax<bx+c,

所以關于X的不等式皿-限<。的解集為.

故選：A.

【點睛】本題考查了一次函數與一元一次不等式的關系：認真體會一次函數與一元一次不等

式（組）之間的內在聯系及數形結合思想.理解一次函數的增減性是解決本題的關鍵.

2.一次函數y=%儼+4和%=&*+〃2,y與x的部分對應值如表1,%與x的部分對應值如表2：

XL01LXL01L

yL35LL0-1L

則當,>H>。時，x的取值范圍是（）.

A.x<0B.x>-\C.-1<x<0D.0<x<l

【答案】C

【分析】先求得兩函數解析式，再根據一次函數的性質求解不等式即可解答.

【解析】解：將（0,3）,（1,5）代入y=3+4

可得：工,'.?解得：q,

5=4+4［々=3

y=2x+3；

同理可得：

聯立y=2x+3和％=-x,解得：x=-l

二,＞為的解集為匯＞T;

???o,

x<0,

y＞%＞。的解集為-i＜x＜o.

故選c.

【點睛】本題主要考查了一次函數的交點問題、一次函數的解析式、解不等式等知識點，正

確求得兩函數解析式是解答本題的關鍵.

3.-一次函數y="+〃與必=cx+d的圖象如圖所示，下列說法：①而＜（）;②M（N，），J,N（W，%）

是直線）1="+b上不重合的兩點.則（內-w）（y-％）＞0.③a+〃＞c+d；④3a+Z?=3c+d；⑤當

【答案】B

【分析】根據一次函數y=以+〃過一，二，四象限，可得“＜0,力＞o,則必＜0,故①符合題意;

由〃＜0,可得y隨X增大而減小，故②不符合題意；當4=1,凹=。+〃，％=c+d,結合函數圖

象可得：a+Z^c+d,故③符合題意；由函數圖象可得，兩函數的交點的橫坐標為3,當x=3

時,%=。2,即M+0=3c+d，故④符合題意；由函數圖象可得:當％=加＞3時，可得cm+d＞刖+b，

故⑤不符合題意.

【解析】解：???一次函數，=衣+〃過一，二，四象限，

a＜0,/?＞0,

ah＜0,故①符合題意;

a＜（）f

??.y隨x增大而減小，

而M（內,）1），N（/,），2）是直線X=ax+力上不重合的兩點.

當王＜修，則則（xr）（x-%）＜。，

當$＞修，則,＜必，則（、-%）（乂-％）＜。，故②不符合題意；

當x=l,另=〃+〃，y2=c+d,

結合函數圖象可得：a+b＞c+d,故③符合題意；

由函數圖象可得，兩函數的交點的橫坐標為3,

???當x=3時，＞]=%，即M+b=3c+d,故④符合題意；

由函數圖象可得:當x=m＞3時,

crn+d＞am+b,故⑤不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題考查的是一次函數的圖象與性質，利用兩直線的交點坐標確定不等式的解集，

熟練的利用數形結合的方法解題是關鍵.

題型六一次函數的實際應用

【例6】.某電信公司推出兩種不同的收費標準:A種方式是月租20元;B種方式是月租0元.一

個月本地網內打出電話費S（元）與打出時間，（分）的函數圖象如圖所示，當打出150分鐘

時，這兩種方式的電話費相差（）

▲京元）B

2(]

1(]

0100150/(分)

A.5元B.10元C.15元D.20元

【答案】B

【分析】根據圖象先求出兩條直線的解析式，然后，=150時代入各自的解析式就可以求出各自

的付費情況從而求出結論.

【解析】解：設A種方式直線的解析式為：5尸修+4,9種方式直線的解析式為：52=M，

一，r30=100^,+/?.

由圖象可得：2。=〃,*叱'

解得仁2。,

???這兩個函數的解析式分別為：4=04+20,52=0.3/,

當f=150時，

S,=0.1x150?20=35,S,=03x150=45,

?二兩種方式的電話費相差：45-35=10,

故選B.

【點睛】本題考查一次函數的實際應用，解題的關鍵是讀懂題意，求出函數解析式.

鞏固訓練：

1.清明期間，甲、乙兩人同時登云霧山，甲、乙兩人距地面的高度），（米）與登山時間不（分）

之間的函數圖象如圖所示，且乙提速后乙的速度是甲的3倍.則下列說法錯誤的是（）

B.乙攀登到300米時共用時11分鐘

C.從甲、乙相距100米到乙追上甲時，乙用時6.5分鐘D.從甲、乙相距100米到乙追

上甲時，甲、乙兩人共攀登了330米.

【答案】D

【分析】根據圖象可得甲的速度，進而得出乙提速后的速度；利用乙提速后的速度可得提速

后所用時間,進而得出乙攀登到30（）米時共用時間：別求出甲和乙提速后），和x之間的函數

美系式，進而判斷C、D.

【解析】解：甲的速度為：（300-100卜20=10（米/分），

10x3=30（米/分），

即乙提速后每分鐘攀登30米，故選項A不符合題意；

乙攀登到3（）（）米時共用時：2+（300-30）+30=11（分鐘），故選項B不符合題意;

設即=*產+4，y「k?x+b.

100二4

由函數圖象得:（300=204+〃，

解得H二1°,

解傳,=100

3^）|=10x4-100,

???乙提速后，乙的速度是甲登上速度的3倍,

，乙提速后的速度為：30米/分，

.*.（300-30）^30=9,

.\r=2+9=ll,

B（11,300）,

.J3O=2&+"

??[300=l%+4'

包=30

解得

仇=一30

??,九=30工-30,

當肉=兒時，

則10x+100=30.v-30,

解得x=6.5,

即從甲、乙相距100米到乙追上甲時二乙用時6.5分鐘，故選項C不符合題意;

從甲、乙相距100米到乙追上甲時，

甲、乙兩人共攀登了：6.5x10+30+30x（6.5-2）=65+30+135=230（米），

故選項D符合題意.

故選；D.

【點睛】本題考查的是一次函數的實際應用，理解點的橫縱坐標是含義，熟練的求解一次函

數的解析式是解本題的關鍵.

2.小帶和小路兩個人開車從A城出發勻速行駛至8城.整個行駛過程中，小帶和小路兩人的

車離開A城的距離y（千米）與行駛的時間，（小時）之間的函數關系如圖所示，有下列結論：

①A、"兩城相距300千米；

②小路的車比小帶的車晚出發1小時，卻早到1小時；

③小路的車出發后2.5小時追上小帶的車；

④當時，小帶和小路的車相距50千米.

其中正確的結論有（）

A.①②③④B.①@④C.②③④D.①②

【答案】B

【分析】觀察圖象可判斷①②，由圖象所給數據可求得小帶、小路兩車離開A城的距離N與

時間/的關系式，可求得兩函數圖象的交點，可判斷③，再令兩函數解析式的差為50,可求

得人可判斷④，可得出答案.

【解析】解：由圖象可知A、3兩城市之間的距離為300千米，小帶行駛的時間為5小時，而

小路是在甲出發1小時后出發的，且用時3小時，即早到1小時，

.??①②都正確;

設小帶車離開A城的距離>'與/的關系式為，小帶=心,

把(5,300)代入可求得Z=60,

y小帶=60,，

設小路車離開A城的距離y與/的關系式為y小路=〃〃+〃,

〃?+〃=0

把(1,0)和(4,3(X))代入可得

4〃?+〃=300'

zn=100

解得：

/2=-100,

/.y/bM=100/-100,

令%帶=、小珞，可得：60r=l(XV-l(X),

解得：/=2.5,

即小帶、小路兩直線的交點橫坐標為，=2.5,

此時小路出發時間為L5小時，即小路車出發1.5小時后追上小帶車，

「?③不正確；

令|%帶--路|=50,可得I—+100|=50,gp|100-40r|=50,

當100—40/=50時，可解得/=：,

4

當100-40,=一50時,可解得

4

又當”:時，y小帶=5。，此時小路還沒出發，

O

當，=蔓時，小路到達3城，y小帶=250；

O

綜上可知當，的值為J或;或，或系時，兩車相距50千米，

4466

??.④正確；

故選：B.

【點睛】本題主要考查一次函數的應用，掌握一次函數圖象的意義是解題的關鍵，特別注意/

是甲車所用的時間.

題型七一次函數解答題

【例7].己知一次函數圖象經過點4(1,3)和8(0,1).求:

⑴這個一次函數的解析式.

(2)當工=-3時，y的值.

【答案】（i）y=2?i

⑵-5

【分析】（1）利用待定系數法求解；

（2）將工=-3代入一次函數的解析式，即可求出y的值.

【解析】（1）解：設一次函數的解析式為、=仆+〃，

k+b=3

將點A（l,3）和8（0,1）代入，可得〃一，

<.*1

2二2

解得J，

故這個一次函數的解析式為J=2x+1.

（2）解：由（1）知這個一次函數的解析式為〉=2I+1,

當x=-3時，y=2x（-3）+l=-5,

即），的值是-5.

【點睛】本題考查求一次函數解析式和函數值，解題的關鍵是利用待定系數法求出一次函數

的解析式.

鞏固訓練：

1.已知一次函數y=（2，〃+3）ol.

⑴若函數圖象在y軸上的截距為-3,求利的值；

⑵若函數圖象平行于直線產x+i,求〃，的值；

⑶該函數圖象不經過第二象限，求的取值范圍.

【答案】（1）用=一2

⑵〃?=-1

3

⑶一產小

【分析】（1）截距等于-3,得〃=解方程即可；

（2）根據平行直線的解析式的Z值相等列式計算即可得解；

（3）根據圖象不在第二象限，％>0,8<0列出不等式組求解即可.

【解析】（1）解：???函數的圖象在），軸上的截距為-3,

，〃一1=-3,

解得m=-2；

（2）解：,函數的圖象平行于直線產工+1,

/.2m+3=1,

解得〃i=_]；

（3）解：???函數的圖象不過第二象限，

.2m+3>0@

[/n-l<0?''

由①得：心一?!，

由②得，，〃￡1,

【點睛】本題主要考查一次函數圖象在坐標平面內的位置與鼠匕的關系.解答本題注意理解：

直線產履+6所在的位置與屋匕的符號有直接的關系；&>0時，直線必經過一、三象限；k<（）

時，直線必經過二、四象限；。>0時，直線與），軸正半軸相交；b=0時，直線過原點；8<0時，

直線與y軸負半軸相交.

2.已知y是x的一次函數，且當x=0時，）=2；當工=-3時，y=8.

⑴求這個一次函數的表達式；

⑵當-1勵2時，直接寫出函數）的取值范圍，

【答案】（l）y=-2x+2

（2）-2邠4

【分析】（1）利用待定系數法求一次函數解析式；

（2）先計算出A-1和、=2時的函數值，再根據一次函數的性質求解即可.

【解析】（1）解：設這個一次函數的表達式為廣心+/7,

根據題意得/父，

解噴;’

???這個一次函數的表達式為『=-2%+2；

（2）解：當戶一1時，），=-2.-2=2+2=4；

當x=2時，y=-2.v+2=-4+2=-2,

???當-讖2時,對應的函數》的取值范圍為-2翔4.

【點睛】此題主要考查了待定系數法求一次函數解析式，一次函數的性質，解方程等知識，

解題關鍵是掌握一次函數性質.

3.已知直線/經過點42,0）,4（0,26）,第一象限內的一點P在直線/上，點P的橫坐標為1.

⑴求直線/的解析式;

⑵點P繞著點A順時針旋轉91）。得到點Pf，點Pf的坐標.

【答案】（l）y=-"t+2g

⑵〃（2+6,1）

【分析】（1）用待定系數法求函數的解析式即可；

（2）過點P作PELt軸交于E,過點P作軸交于尸，可證明-APE一產"（AAS）,再

由邊的關系可求P，點坐標.

【解析】（1）解：設直線/的解析式為k履+3

將點A（2,0）,B（0,2折代入，

2k+b-0

b=2yf3

k=—\/3

解得

：?），=-島+2#；

（2）過點P作PE_Lx軸交于￡,過點〃作產/Ux軸交于F,

NE4戶=90。，ZPE4=90°,

/.ZAPE=/FAP,

,:AP=APt

...APE絲b(AAS),

；?AE=P'F,PE=AFt

當x=l時，y=石,

當y=0時，x=2,

J4(2,0),

/.AE=PfF=