兩角和與差的余弦-2026蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)章節(jié)練（含解析）

2026蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)

第10章三角恒等變換

10.1兩角和與差的三角函數(shù)

10.1.1兩角和與差的余弦

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

題組一給角求值

1.（2025江蘇南京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校月考）已知a=（cos105。,sin105°）,b=（cos45。,sin

45。）,則ab等于（）

A.埠B-|C.1D.f

2222

2.（2025江蘇南京田家炳高級(jí)中學(xué)階段性測(cè)試）cos24°cos69°+sin24°sin111°=（）

A.gB.qC.-|D.；

2222

3.（2024陜西西安一模泮潸竺等于（）

A.；B.4C.RD.l

題組二給值求值

4.（2025江蘇淮安漣水第一中學(xué)月考）已知（1￡（0,9,8501=*則cos（af）的值為（）

A3怖2V5小四C37io_p曬

A.——Bn.—C.--D.——或--

10510）010

5.（2025江蘇南京中華中學(xué)期中）在aABC中,A為銳角，若sinA=j,cosB/,則cosC=（）

A.?1花6B-5萬(wàn)6C.^56或_*x益16nD.-3-3

6.（2025河北部分學(xué)校聯(lián)考）已知cosa-cosp=1,sina-sinp=y,Mcos（p-a）=（）

A.：B-^C.gD.T

24242424

7.（2025江蘇南通第一中學(xué)階段性考試）已知0〈pvaq,cos（a+B）=g,sin（a-B）=g,!J!lJtanatanp

的值為（）

A.：B，7C.|D.2

253

8.（2025江蘇南京二十九中月考）已知向量ei=（cosa,sina）,e2=（cosP，sinp）,m=（0,l）,若

ei+e2=m,貝ijcos（a-P）=.

題組三給值求角

9.（多選題）若（1￡[0,2小畝知11?+（：05?85于0,則0（的值可以是（）

A5B，Cg*

10.（2025江蘇南通如皋質(zhì)量調(diào)研）已知&0￡（0,兀），且tana=1,cos0=1,則a+0=（）

A.-B.-C.-D.-

4463

11.（2025江蘇南京第一中學(xué)月考）已知（/￡（0,3，眸（-冽,sin懺蕓且cos（a-0）=|,則a的值

為（）

AA-26BR-42rJ-Un—|2

12.（2025河北廊坊月考）若cos（a-p）=y,cos2。*,（1為銳角,0為鈍角,貝1）（1+0=.

能力提升練

題組一利用兩角和與差的余弦公式求值

1.（2025江蘇常州武進(jìn)高級(jí)中學(xué)月考）已知cosg-a）+sina考，則sin（a-§的值是（）

當(dāng)2V3c44

A.5O.5JU.5

2.（2025江蘇揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)月考）已知cos（a+3=g,cos（4q）=/,aF￡（05）JUJ

cos（a+p）=（）

A竺-C-D-

A，65B65L65U，65

3.（2025江蘇常州學(xué)情測(cè)試）已知a,0為銳角，且cos（a+p）sin懺sina,則tana的最大值為

（）

A.V2B.lC.yD.y

4.（2025江蘇南通月考）人臉識(shí)別技術(shù)應(yīng)用在各行各業(yè)，改變著人類(lèi)的生活，而所謂人臉識(shí)別,

就是利用計(jì)算機(jī)分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識(shí)別信息，最終判別人臉對(duì)

象的身份.在人臉識(shí)別中為了檢測(cè)樣本之間的相似度主要應(yīng)用距離的測(cè)試,常用的測(cè)量距

離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.假設(shè)二維空間中有兩個(gè)點(diǎn)A（Xi,yi）,B（X2,y2）,O為坐標(biāo)

原點(diǎn)，余弦相似度為向量方,歷夾角的余弦值，記作cos（A,B）,余弦距離為l-cos（A,B）.己知

P(cosa,sina),Q(cosp,sin[3),R(cosa,-sina),若P,Q的余弦距離為g,tanatan0=g則Q,R的余

弦距離為()

AiB5c-iD」

5.(2024江蘇連云港東海高級(jí)中學(xué)第一次檢測(cè))已知0<P<a<psinasinP=^j,cosacos則

題組二利用兩角和與差的余弦公式求角

6.(2025江蘇邳州毓秀高級(jí)中學(xué)月考)若a+昨6,兀),|3為銳角,sin(a+0)/，,cos2|3=，，則a-[3

的值為()

A，7B*C，vD.-

6446

7.(2024四川成都百師聯(lián)盟沖刺)已知a,。,丫三(0弓),若sina+sin產(chǎn)sin°,cosp+cosy=cosa,則

a-|3=()

B.5C.-1睦

8.(2025江蘇常州北郊高級(jí)中學(xué)期中)已知0°<0<180°,cos(400-9)+cos(400+9)+cos(80°-e)=0,

則0=.

9.已知a=(cosa,sina),b=(cosp,sinp)(0<a<p<7i).

(1)求證:a+b與a-b互相垂直；

⑵若ka+b與a-kb的模相等(其中k為非零實(shí)數(shù))，求。-a的值.

答案與分層梯度式解析

第10章三角恒等變換

10.1兩角和與差的三角函數(shù)

10.1.1兩角和與差的余弦

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

l.Cab=cos105°cos450+sin105°sin45°=cos(1050-45°)=cos60°=1.

2.Bcos240cos69°十sin24°sin1110

=cos24°cos690+sin24°sin(180°-69°)

=cos24°cos69°+sin24°sin69°

=cos(69o-24°)=cos45°=^.

Nr8s550+sin250sin30°

'cos250

cos(250+300)+sin250sin30°

cos250

cos?S0cns^00.sin7S°sin'?00+?;in7S0sin；00

cos25°

cos25°cos30°\A。

=----——=COS30°=—.

cos25°2

4.A由aW(0,9,cosa=y，得sina=Vl-cos2a=言，

m.i，叫7T,..JIV5V2,2s/5V23M

叫ijcosla--)=cosacos-+sinasm-=-x—+-x—=-rr-

\4/44525210

5.A在AABC中,cosB為銳角,，sinB=Vl-cos2B=^,

*.*sinA=|,A為銳角,cosA=Vl-sin2A=

JJ

則cosC=COS[7T-(A4-B)]=-COS(A+B)=-COSACOSB+sinAsinB=-7><7-+7X77=77.

51351365

6.C對(duì)cosa-cos兩邊平方，得cos2a-2cosacos|3+cos2|3=1),

對(duì)sina-sin0=，兩邊平方，得sima-2sinasin0+simp=檢，

①+②得,cos%+sin%+cos2p+si"p-2(cosacosP+sinasinP)=^,

即2-2(cosacosp+sinasinp)=^,

即2-2cos（p-（x）W，解得cos（。一a尸盤(pán).

7.A由題意知cos(a+p)=cosacosp-sinasin①

因?yàn)閟in(a-p)=^.0<(3<a<

fa?》0,

所以代<一陣0,所以0<a邛杉，

所以cos(a-P)=cosacosP+sinasin[3=1,②

聯(lián)立①②，得cosacosp=|,sinasinp=1,

所以tanatan0見(jiàn)嗎二

cosacos/l2

8.答案力

解析由ei+e2=m可知(cosa,sina)+(cosp,sin0尸(0,1),即cosa+cos[3=0,sina+sinp=1,

將兩式平方再相加可得(cosa+cosp)2+(sina+sinp)2=l,

B|Jcos2a+2cosacosp+cos2p-l-sin2a+2sinasinp+sin2p=2+2(cosacosp+sinasin0)=1,

/.cosacos[3+sinasin0=g

故cos(a-p)=cosacosp+sinasinp=-；.

9.CD由已矢U得cosycos"+sinysinj=cos(y-J)=cosa=0,

又aW[0,2兀]，所以或。=y.

10.A因?yàn)閍,。W(0,兀),且tana=y,cos0=1,

所以af￡(0,3,

又tana=^=1,sin2a+cos2a=1,sin2p+cos2p=1,

所以sina=^,cosa=^y,sinp=|,

所以cos(a+P)=cosacosP-sinasinp=^x|-^x|=

因?yàn)閍+g。兀)，所以a+吃.

1LB???仁(彳,0),sinB=Y，???COS審,

???a￡(0,9平￡,0),???a-pe(0,兀)，

又cos(a-p)=|,

sin(a-0尸Jl-cos2(a-0)=,

故cosa=cos(a-p+p)=cos(a-p)cosp-sin(a-p)sin0

又(1￡(0,5???(1三.

12.答案日

解析Vcos2a三牛，且a為銳角,

.,.2ae(0,g,BPae(0^),sin2a=^

,?*P為鈍角，即。￡g，兀)**-a-。e(-兀,-,a+。仁6T)，又C0S(a-P)=*?*-sin(a-0)=-率

cos(a+p)=cos[2a-(a-p)]=cos2acos(a-p)+sin2asin(a-p)=^xg+^^x(-管)=-

???a+吟.

能力提升練

l.Dcos^-a^+sina=cos^cosa+sin^sina+sina

V3.3/y/I.V3-\

=ycosa+-sina=V3(；cosa+-^-sin6j

=V3(cosmcosQ+sinmsina)=V3cos(a-三)=-r-,

所以cos(aq)=g，故sin^a-^j=sin(a-1-=-cos(吟)=一*

2D.?.4￡(*)，???*￡(曷)，尸浮(小。)，?.?加(%)>0,sin(紜)VO,

.??cos(a+0)=cos[(a+?+0.初

=cos(a+3cos0-3-sin(奸Jsin0.?

3.D因?yàn)閍,0為銳角，所以sina>0,cosa>0,tana>0,sinf>0,cos[3>0,tanP>0,

由cos(a+P)sinP=sina,得(cosacos(3-sinasin|3)sinP=sina,即cosacosPsinP-sinasin2p=sin

a,

貝ijcospsinp-tanasin2p=tana,

整理得tan&="鑼="J「條當(dāng)且僅當(dāng)2tan懺七；,即tanP=T

sm-p+l2sin2p+cos~p21aM島2/2tan/?—4tan^2

時(shí)等號(hào)成立，則tana的最大值為苧

方法技巧三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則：

一看“角”，這是最重要的一環(huán),通過(guò)看角之間的區(qū)別和聯(lián)系，把角進(jìn)行合理拆分，從而正確使

用公式；

二看“函數(shù)名稱(chēng)”，看函數(shù)名稱(chēng)之間的差異，從而確定使用的公式，常見(jiàn)的有“切化弦”；

三看“結(jié)構(gòu)特征”,分析結(jié)構(gòu)特征，可以幫助我們找到變形的方向，如“遇到分式通分'零.

4.A由題意知0P=(cosa,sina),O0=(cos[3,sin[3),OR=(cosa,-sina),

則cos(PQ)：而說(shuō)=cosacosp+sinasinP=cos(a-P),

cos(Q,R尸黑黑=cosacosP-sinasinp=cos(a+p),

由題意知l-cos(a-[3)=4則cos(a-p)=cosacos[Hsinasinp=|,?

tanatan1當(dāng)、②

cosacosp7

聯(lián)立①②可得sinasinp=^,cosacos[3=—,

因此,Q,R的余弦距離為l-cos(a+p)=l-cosacosp+sinasinp=l--+=

5.答案0

解析:sinasin|3=土,cosacosP=看

cos(a-P)=cosacosP+sinasin0三+看=*

cos(a+P)=cosacos[3-sinasin

*.*0<P<a<^,/.0<a_p<g,0<a+pv兀,

sin(a-p)=-yl-cos2(a-p)=1,sin(a+p)^1-cos2(a+P)=g,

則cos2a=cos[(a+p)+(a-p)]=cos(a+p)cos(a-p)-sin(a+p)sin(a-p)=|xj-jx|=0.

方法技巧用兩角和與差的余弦公式求值時(shí)，常將所求角進(jìn)行拆分或組合,常見(jiàn)的變換如

下:a=(a+p)-p,a=p-(0-a),2a=(a+p)+(a-。)等.

6.B因?yàn)閍+p￡Q，兀)，所以cos(a+p)=-J1-(#)=一*

因?yàn)間(0,"所以2眸(0,兀)，所以sin20=J1.(甯)筆

因?yàn)閟in(a+p)=^>-y,cos2尸噂

所以3<a+P<g5<204則"<-2P<-j,

所以0<a-p<p

故cos(a-P)=cos[(a+P)-2p]=cos(a+P)cos2[3+sin(a+P)sin2p=-^x—+—

J1UJIu乙

所以a-歸.

7.A由sina+siny=sin°,cos0+cosy=cosa,得sina-sinp=-siny,cosa-cosp=cosy,

.'.(sina-sinp)2+(cosa-cosp)2=(-sinyA+cos^ul,

(提示:所求角與丫無(wú)關(guān)，則需根據(jù)已知條件消去y)

即2-2sinasinP-2cosacos0=1,

即2-2cos(a-0)=l,解得cos(a-p)=^.

的),

Asina-sinP="siny<0,Asina<sin0,

Xa,pc(0,3,.??Ovav吃，二字